coreの意味は「妨害がない」。

You may study English.
勉強してもいい(勉強するのはあなた次第、私があなたに勉強できるようにしてあげたから) :上から目線。

It may be right.
それは正しいかも知れない(それは正しいというのに何の妨害もない)。

You may not smoking here
ここでたばこを吸わないで欲しいんだ(ここでたばこを吸わないことにたいして妨害はないんだけどさ):丁寧だが強い口調。

May I ask you a question ?
聞いてもいいですか(聞くのに何の障害もない)。

Sure.
いいよ

All right.
いいよ

No, you cannot.
だめです

* Can I ask you a question ?は聞くのが可能かどうかという可能性を尋ねている。mayの場合は許可を求めている感じでcanよりも丁寧な感じ。友人、知っている人にはcanを、目上の人や知らない人にはmayを使うという感覚。