pickは拾うという意味で、outは外という意味。

直訳するとpick outで「外から拾う」、これから

拾い出す、摘出する、見つける、選ぶ、見分ける、引き立たせる

などの意味があります。

I am picking up your present.
私は今あなたへのプレゼントを選んでいます。